%--------------------------
% Archivo: mat2008juna1.tex
% Autor:   Pedro Reina
% Fecha:   J.19.6.2008
%--------------------------

% Tipo de documento
\documentclass[12pt,a4paper,fleqn]{article}
\pagestyle{empty}

% Medidas
\setlength{\oddsidemargin}{-0.54cm}
\setlength{\topmargin}{-0.54cm}
\setlength{\headheight}{0cm}
\setlength{\headsep}{0cm}
\setlength{\textheight}{25.7cm}
\setlength{\textwidth}{17cm}
\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\parskip}{1.3ex}

% Paquetes
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{calc}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{ifpdf}
\usepackage{hyperref}

% Operador rg
\DeclareMathOperator{\rg}{rg}

% Datos para el PDF
\ifpdf
\pdfinfo
  {
  /Title  (Mat2008JunA1)
  /Author (Pedro Reina)
  }
\fi
\begin{document}

% Cabecera del documento
\begin{large}
  PAU Madrid. Matemáticas II. Año 2008. Examen de junio. \par
  Opción A. Ejercicio 1. Valor: 3 puntos.
\end{large}

\addvspace{5mm}

% Enunciado
\setlength{\fboxsep}{5mm}
\framebox[\textwidth]
  {
  \begin{minipage}{\textwidth-1cm}
  Dado el sistema de ecuaciones lineales:
  \begin{equation*}
  \left\lbrace \begin{array}{lll}
  x-ay & = & 2 \\ ax-y & = & a+1
  \end{array} \right. 
  \end{equation*}
  se pide:
  \begin{enumerate}[a)]
    \item (2 puntos) Discutir el sistema según los valores del
      parámetro $a$. Resolverlo cuando la solución sea única.
    \item (1 punto) Determinar para qué valor o valores de $a$
      el sistema tiene una solución en la que $y=2$.
  \end{enumerate}
  \end{minipage}
  }

\addvspace{5mm}

% Resolución

\begin{enumerate}[a)]
  \item Las matrices de coeficientes y ampliada son
    $A|A^* = \left( \begin{array}{rrr}
    1 & -a \\ a & -1 \end{array} \right|
    \left. \begin{array}{c} 2 \\ a+1 \end{array}\right)$

    Estudiamos cuándo puede ser $\rg(A)=2$ resolviendo la ecuación $\det(A)=0$
    \begin{equation*}
    \det(A)=-1+a^2=0 \Rightarrow
    a = \left\lbrace \begin{array}{rr} -1 \\ 1 \end{array}\right.
    \end{equation*}
    Si $a=-1$, las matrices quedan
    $A|A^* = \left( \begin{array}{rrr}
    1 & 1 \\ -1 & -1 \end{array} \right|
    \left. \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array}\right)$
    y $\rg(A)=1$ y $\rg(A^*)=2$, luego el sistema es incompatible.

    Si $a=1$, las matrices quedan
    $A|A^* = \left( \begin{array}{rrr}
    1 & -1 \\ 1 & -1 \end{array} \right|
    \left. \begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array}\right)$
    y $\rg(A)=1$ y $\rg(A^*)=1$, luego el sistema es no homogéneo,
    compatible e indeterminado.

    Si $a \ne -1$ y $a \ne 1$ entonces $\det(A) \ne 0$ y por tanto
    $\rg(A)=2$ y $\rg(A^*)=2$, con lo que el sistema es no homogéneo
    compatible determinado.

    El sistema tiene solución única cuando $a \ne -1$ y $a \ne 1$. En ese
    caso el sistema es de Cramer y se puede resolver mediante la regla de
    Cramer:
    \begin{equation*}
    \Delta_x = \left| \begin{array}{cc}
    2 & -a \\ a+1 & -1 \end{array} \right| = -2 + a^2 + a
    \Rightarrow x= \dfrac{\Delta_x}{\det(A)} = \dfrac{a^2 + a -2}{a^2 - 1} =
    \dfrac{(a+2)(a-1)}{(a+1)(a-1)} = \dfrac{a+2}{a-1}
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
    \Delta_y = \left| \begin{array}{cc}
      1 & 2 \\ a & a+1 \end{array} \right| = a+1-2a
      = 1-a \Rightarrow y= \dfrac{\Delta_y}{\det(A)} = \dfrac{a-1}{a^2 - 1}=
    \dfrac{a-1}{(a+1)(a-1)} = \dfrac{1}{a-1}
    \end{equation*}
    La solución del sistema es
    $\left\lbrace \begin{array}{l}
    x=\dfrac{a+2}{a-1} \\  \\ y=\dfrac{1}{a-1}
    \end{array}\right.$\newpage 

  \item Si $a=1$ el sistema es equivalente a $\left\lbrace x-y=2\right. $,
    que tiene infinitas soluciones.

    Una de ellas es
    $\left\lbrace \begin{array}{l} x=4 \\ y=2 \end{array} \right.$

    Si $a \ne -1$ y $a \ne 1$,
    $y=\dfrac{1}{a-1} \Rightarrow \dfrac{1}{a-1} = 2 \Rightarrow 
    1=2a-2 \Rightarrow 2a=3 \Rightarrow a=\dfrac{3}{2}$

% Solución

\setlength{\fboxsep}{2mm}
\fbox{Solución}\quad
$a=1$ y $a=\dfrac{3}{2}$

\end{enumerate}

% Datos impresos del documento
\begin{table}[b]
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\begin{footnotesize}
\setlength{\parskip}{0.5ex}
Autor: Pedro Reina. URL: \texttt {http://pedroreina.net/pau/mat2008juna1.pdf} \par
Creado con \LaTeX. Licencia: \texttt {http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/es/}
\end{footnotesize}
\end{table}
\end{document}