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% Archivo: mat2002sepa3.tex
% Autor:   Pedro Reina
% Fecha:   M.20.5.2008
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% Tipo de documento
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% Medidas
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% Paquetes
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% Datos para el PDF
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  {
  /Title  (Mat2002SepA3)
  /Author (Pedro Reina)
  }
\fi

\begin{document}

% Cabecera del documento
\begin{large}
  PAU Madrid. Matemáticas II. Año 2002. Examen de septiembre. \par
  Opción A. Ejercicio 3. Valor: 3 puntos.
\end{large}

\addvspace{5mm}

% Enunciado
\setlength{\fboxsep}{5mm}
\framebox[\textwidth]
  {
  \begin{minipage}{\textwidth -1cm}
  Se considera el sistema lineal de ecuaciones, dependiente
  del parámetro real $\lambda$:
  \begin{equation*}\left\lbrace\begin{array}{rll}
     x+y+\lambda z & = & \lambda ^2 \\
     y-z & = & \lambda \\
     x+\lambda y+z & = & \lambda
  \end{array} \right. \end{equation*}
  \begin{enumerate}[a)]
    \item (1,5 puntos) Discutir el sistema según los diferentes valores
      del parámetro $\lambda$.
    \item (1 punto) Resolver el sistema en los casos en que sea posible.
    \item (0,5 puntos) En el caso $\lambda=2$, indicar la posición
      relativa de los tres planos cuyas ecuaciones forman el sistema.
  \end{enumerate}
  \end{minipage}
  }

\addvspace{5mm}

% Resolución

\begin{enumerate}[a)]
  \item Las matrices de coeficientes y ampliada son
    $A|A^* = \left( \begin{array}{rrr}
    1 & 1 & \lambda \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & \lambda & 1 \end{array} \right|
    \left. \begin{array}{c} \lambda ^2 \\ \lambda \\ \lambda \end{array}\right)$

    $rg(A)\geqslant 2$ ya que tiene un menor de orden 2 no nulo:
    $\left| \begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right| = 1 \ne 0 $
    \begin{equation*}
    det(A)=1-1-\lambda+\lambda = 0 \Rightarrow rg(A)=2
    \end{equation*}

    Para estudiar el rango de $A^*$ calculamos el menor de $A^*$ obtenido
    ampliando el menor de orden 2 no nulo de $A$ con la columna de términos
    independientes y vemos cuándo se anula:
    \begin{equation*}
      \left| \begin{array}{rrr}
      1 & 1 & \lambda ^2 \\ 0 & 1 & \lambda \\ 1 & \lambda & \lambda
      \end{array} \right| = \lambda + \lambda -\lambda ^2 -\lambda ^2
      = -2\lambda ^2 + 2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda^2 -\lambda = 0
      \Rightarrow \lambda = \left\lbrace
      \begin{array}{r} 0 \\ 1 \end{array}\right.
    \end{equation*}

    Caso $\lambda \ne 0$ y $\lambda \ne 1$.
    En este caso $rg(A^*)=3$, luego el sistema es no homogéneo e incompatible.

    Caso $\lambda=0$. $rg(A^*)=2$ y
    el sistema es homogéneo, compatible indeterminado.

    Caso $\lambda=1$. $rg(A^*)=2$ y
    el sistema es no homogéneo, compatible indeterminado.

  \item Para $\lambda=0$ y $\lambda=1$ el sistema es equivalente al siguiente,
    que resolvemos dejando $x$ e $y$ en función de $z$.
    \begin{equation*}
      \left\lbrace \begin{array}{rrrr}
      x & +y & = & \lambda ^2 - \lambda z \\ & y & = & \lambda +\lambda z
      \end{array} \right.
      \left| \begin{array}{l}
      x = \lambda ^2 - \lambda -2 \lambda z \\
      y = \lambda +\lambda z \end{array} \right.
    \end{equation*}

    % Solución

    \setlength{\fboxsep}{2mm}
    \fbox{Solución}\quad
    $\left\lbrace \begin{array}{l}
    x=\lambda ^2 - \lambda -2 \lambda \mu \\
    y=\lambda +\lambda \mu  \quad (\mu\in\mathbf R) \\
    z=\mu
    \end{array}\right.$
\newpage
  \item Para $\lambda=2$ el sistema es incompatible, luego los
    tres planos no tienen ningún punto en común. Como, además,
    ninguna ecuación es múltiplo de otra, no hay dos planos que
    sean paralelos entre sí.

    % Solución

    \setlength{\fboxsep}{2mm}
    \fbox{Solución}\quad
    Cada dos planos se cortan en una recta diferente.
\end{enumerate}

% Datos impresos del documento
\begin{table}[b]
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\begin{footnotesize}
\setlength{\parskip}{0.5ex}
Autor: Pedro Reina. URL: \texttt {http://pedroreina.net/pau/mat2002sepa3.pdf} \par
Creado con \LaTeX. Licencia: \texttt {http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/es/}
\end{footnotesize}
\end{table}
\end{document}