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% Archivo: mat2002junb3.tex
% Autor:   Pedro Reina
% Fecha:   M.17.6.2008
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% Tipo de documento
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% Medidas
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% Paquetes
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% Operador rg
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% Datos para el PDF
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  {
  /Title  (Mat2002JunB3)
  /Author (Pedro Reina)
  }
\fi

\begin{document}

% Cabecera del documento
\begin{large}
  PAU Madrid. Matemáticas II. Año 2002. Examen de junio. \par
  Opción B. Ejercicio 3. Valor: 3 puntos.
\end{large}

\addvspace{5mm}

% Enunciado
\setlength{\fboxsep}{5mm}
\framebox[\textwidth]
  {
  \begin{minipage}{\textwidth -1cm}
  Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente
  del parámetro real $a$:
  \begin{equation*}\left\lbrace\begin{array}{rll}
     x-y & = & 2 \\ ax+y+2z & = & 0 \\ x-y+az & = & 1
  \end{array} \right. \end{equation*}
  Se pide:
  \begin{enumerate}[a)]
    \item (1,5 puntos) Discutir el sistema según los diferentes valores
      del parámetro $a$.
    \item (0,5 puntos) Resolver el sistema para $a=-1$.
    \item (1 punto) Resolver el sistema para $a=2$.
  \end{enumerate}
  \end{minipage}
  }

\addvspace{5mm}

% Resolución

\begin{enumerate}[a)]
  \item Las matrices de coeficientes y ampliada son
    $A|A^* = \left( \begin{array}{rrr}
    1 & -1 & 0 \\ a & 1 & 2 \\ 1 & -1 & a \end{array} \right|
    \left. \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)$

    $\rg(A)\geqslant 2$ ya que tiene un menor de orden 2 no nulo:
    $\left| \begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 1 & 2 \end{array}\right| = -2 \ne 0 $

    Estudiamos cuándo puede ser $\rg(A)=3$ resolviendo la ecuación $\det(A)=0$
    \begin{equation*}
    \det(A)=a-2+2+a^2=a^2+a=0 \Rightarrow
    a = \left\lbrace \begin{array}{rr}0 \\ -1 \end{array}\right.
    \end{equation*}

    Caso $a \ne 0$ y $a \ne -1$. En este caso $\rg(A)=3$, luego también $\rg(A^*)=3$,
    así que el sistema es no homogéneo, compatible determinado.

    Caso $a=0$. En este caso $\rg(A)=2$ y vemos si el menor de orden 2 de $A$ se
    puede ampliar usando la columna de los términos independientes:
    \begin{equation*}
      \left| \begin{array}{rrr}
      -1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array} \right| =
      -2+4=2 \ne 0 \Rightarrow \rg(A^*)=3
    \end{equation*}
    En este caso el sistema es no homogéneo e incompatible.

    Caso $a=-1$. En este caso $\rg(A)=2$ y vemos si el menor de orden 2 de $A$ se
    puede ampliar usando la columna de los términos independientes:
    \begin{equation*}
      \left| \begin{array}{rrr}
      -1 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{array} \right| =
      -2-2+4=0 \Rightarrow \rg(A^*)=2
    \end{equation*}
    En este caso el sistema es no homogéneo, compatible indeterminado
\newpage
  \item Para $a=-1$ el sistema es equivalente al siguiente, que resolvemos dejando
    $y$ y $z$ en función de $x$.
    \begin{equation*}
      \left\lbrace \begin{array}{rrrr}
      -y & & = & -x+2 \\ y & +2z & = & x \end{array} \right.
      \left| \begin{array}{l}
      y = x-2 \\ 2z = 2 \Rightarrow z=1 \end{array} \right.
    \end{equation*}

    % Solución

    \setlength{\fboxsep}{2mm}
    \fbox{Solución}\quad
    $\left\lbrace \begin{array}{l}
    x=\lambda \\ y=\lambda-2\quad (\lambda\in\mathbf R) \\ z=1
    \end{array}\right.$

  \item Para $a=2$ el sistema es de Cramer y $\det(A)=2^2+2=6$; lo resolvemos
    usando la regla de Cramer.
    \begin{equation*}
    \Delta_x = \left| \begin{array}{rrr}
      2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 2 \end{array} \right| =
      4-2+4=6 \Rightarrow x= \dfrac{\Delta_x}{\det(A)} = \dfrac{6}{6}=1
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
    \Delta_y = \left| \begin{array}{rrr}
      1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{array} \right| =
      4-2-8=-6 \Rightarrow x= \dfrac{\Delta_y}{\det(A)} = \dfrac{-6}{6}=-1
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
    \Delta_z = \left| \begin{array}{rrr}
      1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{array} \right| =
      1-4-2+2=-3 \Rightarrow x= \dfrac{\Delta_z}{\det(A)} = \dfrac{-3}{6}=-\dfrac{1}{2}
    \end{equation*}

    % Solución

    \setlength{\fboxsep}{2mm}
    \fbox{Solución}\quad
    $\left\lbrace \begin{array}{l}
    x=1 \\ y=-1 \\ z=-\dfrac{1}{2}
    \end{array}\right.$
\end{enumerate}

% Datos impresos del documento
\begin{table}[b]
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\begin{footnotesize}
\setlength{\parskip}{0.5ex}
Autor: Pedro Reina. URL: \texttt {http://pedroreina.net/pau/mat2002junb3.pdf} \par
Creado con \LaTeX. Licencia: \texttt {http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/es/}
\end{footnotesize}
\end{table}
\end{document}