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% Archivo: mat2002junb2.tex
% Autor:   Pedro Reina
% Fecha:   S.31.5.2008
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% Tipo de documento
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% Medidas
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% Paquetes
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% Datos para el PDF
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  {
  /Title  (Mat2002JunB2)
  /Author (Pedro Reina)
  }
\fi

\begin{document}

% Cabecera del documento
\begin{large}
  PAU Madrid. Matemáticas II. Año 2002. Examen de junio. \par
  Opción B. Ejercicio 2. Valor: 2 puntos.
\end{large}

\addvspace{5mm}

% Enunciado
\setlength{\fboxsep}{5mm}
\framebox[\textwidth]
  {
  \begin{minipage}{\textwidth -1cm}
  Los puntos $A(1,1,1)$, $B(2,2,2)$, $C(1,3,3)$ son tres vértices
  \textit{consecutivos} de un paralelogramo. Se pide:
  \begin{enumerate}[a)]
    \item (1 punto) Hallar las coordenadas del cuarto vértice $D$ y
      calcular el área de dicho paralelogramo.
    \item (1 punto) Clasificar el paralelogramo por sus lados y por sus
      ángulos.
  \end{enumerate}
  \end{minipage}
  }

\addvspace{5mm}

% Resolución

\begin{enumerate}[a)]
  \item $D = C + \overrightarrow{BA} = (1,3,3)+(-1,-1,-1)=(0,2,2)$

  El área del paralelogramo será:
  \begin{equation*}
  \left| \overrightarrow{BA}\times\overrightarrow{BC}\right| =
  \left| (-1,-1,-1)\times(-1,1,1)\right| =
  | \left| \begin{array}{ccc}
  \vec{i} & \vec{j} &\vec{k} \\ -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1
  \end{array} \right| | =
  |(0,2,-2)| = \sqrt{8} = 2,828
  \end{equation*}
  \setlength{\fboxsep}{2mm}
  \fbox{Solución}\quad
  El vértice $D=(0,2,2)$ y la superficie del paralelogramo es $2,828 u^2$

  \item Calculamos la longitud de dos lados que se cortan:
    \begin{equation*}
    \overline{AB} = |\overrightarrow{AB}| = |(1,1,1)| = \sqrt{3};
    \overline{BC} = |\overrightarrow{BC}| = |(-1,1,1)| = \sqrt{3}
    \end{equation*}
    Como los cuatro lados son iguales, el paralelogramo es un rombo.

    Vemos si dos lados que se cortan son perpendiculares o no:
    \begin{equation*}
    \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (1,1,1) \cdot (-1,1,1) =
    -1+1+1=1 \ne 0
    \end{equation*}
    Como los lados que se cortan no son perpendiculares, el paralelogramo
    no es un rectángulo.

    % Solución

    \setlength{\fboxsep}{2mm}
    \fbox{Solución}\quad
    El paralelogramo es un rombo y no es un rectángulo.

\end{enumerate}

% Datos impresos del documento
\begin{table}[b]
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\begin{footnotesize}
\setlength{\parskip}{0.5ex}
Autor: Pedro Reina. URL: \texttt {http://pedroreina.net/pau/mat2002junb2.pdf} \par
Creado con \LaTeX. Licencia: \texttt {http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/es/}
\end{footnotesize}
\end{table}
\end{document}