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% Archivo: mat2002juna3.tex
% Autor:   Pedro Reina
% Fecha:   M.20.5.2008
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% Tipo de documento
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% Medidas
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% Paquetes
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  {
  /Title  (Mat2002JunA3)
  /Author (Pedro Reina)
  }
\fi
\begin{document}

% Cabecera del documento
\begin{large}
  PAU Madrid. Matemáticas II. Año 2002. Examen de junio. \par
  Opción A. Ejercicio 3. Valor: 3 puntos.
\end{large}

\addvspace{5mm}

% Enunciado
\setlength{\fboxsep}{5mm}
\framebox[\textwidth]
  {
  \begin{minipage}{\textwidth -1cm}
  Se consideran las cónicas $C_1$ y $C_2$ cuyas ecuaciones cartesianas son
  \begin{equation*}
  C_1: 9x^2 + 16y^2 = 144 \: ; \: C_2: 9x^2 - 16y^2 = 144
  \end{equation*}
  \begin{enumerate}[a)]
    \item (2 puntos) Identificar $C_1$ y $C_2$. Especificar, para una de ellas,
      sus elementos característicos: vértices, focos, excentricidad, y
      asíntotas (si existen).
    \item (1 punto) Hallar una ecuación cartesiana de la parábola de eje horizontal,
      abierta hacia la derecha y que pasa por tres de los vértices de la cónica $C_1$.
  \end{enumerate}
  \end{minipage}
  }

\addvspace{5mm}

% Resolución

\begin{enumerate}[a)]
  \item
    $C_1: 9x^2 + 16y^2 = 144 \Rightarrow
    C_1: \frac{x^2}{\frac{144}{9}}+\frac{y^2}{\frac{144}{16}}=1 \Rightarrow
    C_1: \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1 \Rightarrow
    C_1: \frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{3^2}=1$

    $C_1$ es una elipse con semiejes $a=4$ y $b=3$.

    Sus vértices son $A=(4,0)$, $A'=(-4,0)$, $B=(0,3)$ y $B'=(0,-3)$

    Llamamos $c$ a la semidistancia focal; $a^2=b^2+c^2 \Rightarrow c=\sqrt{a^2-b^2} =
    \sqrt{4^2-3^2} = \sqrt{7}$

    Los focos son $F=(\sqrt{7},0)$ y $F'=(-\sqrt{7},0)$

    La excentricidad es $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{7}}{4}=0,6614$ y no tiene asíntotas.

    $C_2: 9x^2 - 16y^2 = 144 \Rightarrow
    C_2: \frac{x^2}{\frac{144}{9}}-\frac{y^2}{\frac{144}{16}}=1 \Rightarrow
    C_2: \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1 \Rightarrow
    C_2: \frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{3^2}=1$

    $C_2$ es una hibérbola con semiejes $a=4$ y $b=3$.

    Sus vértices son $A=(4,0)$, $A'=(-4,0)$, $B=(0,3)$ y $B'=(0,-3)$

    Llamamos $c$ a la semidistancia focal; $c^2=a^2+b^2 \Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2} =
    \sqrt{4^2+3^2} = 5$

    Los focos son $F=(5,0)$ y $F'=(-5,0)$.
    La excentricidad es $e=\frac{c}{a}=\frac{5}{4}=1,2$.

    Las asíntotas son las rectas $r \equiv y=\frac{3}{4}x$ y $r' \equiv y=-\frac{3}{4}x$

  \item
    La parábola pedida pasa por los puntos $A'=(-4,0)$, $B=(0,3)$ y $B'=(0,-3)$ y debe tener
    ecuación $x=py^2+qy+r$. Para calcular los tres coeficientes $p$, $q$ y $r$ sustituimos
    los puntos $A'$, $B$ y $B'$ en la ecuación y se obtiene un sistema, que resolvemos:
    \begin{equation*}
    \left \{ \begin{array}{l}
    -4 = r \\
    0 = 9p+3q+r \\
    0 = 9p-3q+r
    \end{array} \right.
    \left | \begin{array}{l}
    r = -4 \\
    9p+3r = 4 \\
    9p-3r = 4
    \end{array} \right.
    \left | \begin{array}{l}
    \\
    6r = 0 \Rightarrow r=0; \\
    \\
    \end{array} \right.
    9p=4 \Rightarrow p=\frac{4}{9};
    \left \{ \begin{array}{l}
    p = \frac{4}{9} \\
    q = 0 \\
    r = -4
    \end{array} \right.
    \end{equation*}

    % Solución

    \setlength{\fboxsep}{2mm}
    \fbox{Solución}\quad
    La ecuación de la parábola es $x=\frac{4}{9}y^2-4$

\end{enumerate}

% Datos impresos del documento
\begin{table}[b]
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\begin{footnotesize}
\setlength{\parskip}{0.5ex}
Autor: Pedro Reina. URL: \texttt {http://pedroreina.net/pau/mat2002juna3.pdf} \par
Creado con \LaTeX. Licencia: \texttt {http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/es/}
\end{footnotesize}
\end{table}
\end{document}