%--------------------------
% Archivo: mat2002juna2.tex
% Autor:   Pedro Reina
% Fecha:   M.20.5.2008
%---------------------------

% Tipo de documento
\documentclass[12pt,a4paper,fleqn]{article}
\pagestyle{empty}

% Medidas
\setlength{\oddsidemargin}{-0.54cm}
\setlength{\topmargin}{-0.54cm}
\setlength{\headheight}{0cm}
\setlength{\headsep}{0cm}
\setlength{\textheight}{25.7cm}
\setlength{\textwidth}{17cm}
\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\parskip}{1.3ex}

% Paquetes
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{calc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{ifpdf}
\usepackage{hyperref}

% Datos para el PDF
\ifpdf
\pdfinfo
  {
  /Title  (Mat2002JunA2)
  /Author (Pedro Reina)
  }
\fi
\begin{document}

% Cabecera del documento
\begin{large}
  PAU Madrid. Matemáticas II. Año 2002. Examen de junio. \par
  Opción A. Ejercicio 2. Valor: 2 puntos.
\end{large}

\addvspace{5mm}

% Enunciado
\setlength{\fboxsep}{5mm}
\framebox[\textwidth]
  {
  \begin{minipage}{\textwidth -1cm}
  Calcular el rango de la matriz \textit{A} según los diferentes valores
  del parámetro real \textit{a}:
  \begin{equation*}
  A = \left [ \begin{array}{cccc}
         2 & 0 &  a & 2 \\
        -1 & 0 & -1 & 3 \\
         5 & a+4 & -4 & -3
      \end{array} \right ]
  \end{equation*}
  \end{minipage}
  }

\addvspace{5mm}

% Resolución

La matriz $A$ tiene un menor de orden dos no nulo:
$\left| \begin{array}{cc} 2 & 2 \\ -1 & 3 \end{array} \right| = 6 + 2 = 8$,
luego $rg(A) \geqslant 2$

El rango de A será 3 cuando el menor de orden dos no nulo se pueda ampliar
con alguna de las otras dos columnas a un menor de orden tres no nulo.

\begin{equation*}
\left| \begin{array}{ccc}
         2 & 0 & 2 \\
        -1 & 0 & 3 \\
         5 & a+4 & -3
      \end{array} \right|
= -(a+4)\cdot \left| \begin{array}{cc} 2 & 2 \\ -1 & 3 \end{array} \right|
= -(a+4)\cdot 8 = 0 \Rightarrow a=-4
\end{equation*}

\begin{equation*}
\left| \begin{array}{ccc}
         2 &  a & 2 \\
        -1 & -1 & 3 \\
         5 & -4 & -3
      \end{array} \right|
= 6+15a+8+10-3a+24 = 12a+48
= 0 \Rightarrow a=-4
\end{equation*}

% Solución

\setlength{\fboxsep}{2mm}
\fbox{Solución}\quad
Si $a=-4$ el rango de $A$ es 2; en cualquier otro caso es 3.

% Datos impresos del documento
\begin{table}[b]
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\begin{footnotesize}
\setlength{\parskip}{0.5ex}
Autor: Pedro Reina. URL: \texttt {http://pedroreina.net/pau/mat2002juna2.pdf} \par
Creado con \LaTeX. Licencia: \texttt {http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/es/}
\end{footnotesize}
\end{table}
\end{document}